Metodos cuantitativos

CONJUNTOS

Un conjunto no es más que la agrupación de varios elementos

un conjunto es la agrupación de varios elementos que comparten características o rasgos similares.

Por ejemplo, una flor puede agruparse con otras de su misma especie para que nos quede un conjunto de rosas. Los conjuntos pueden volverse elementos en sí, ya que ahora pensaremos en un ramo de rosas. 

Clases de conjuntos

1. Conjunto finito

Formado por elementos que se pueden contar en su totalidad. Por ejemplo el conjunto de los colores del arcoíris es finito debido a que ellos se pueden contar o listar en su totalidad: violeta, índigo, azul, verde, amarillo, naranja y rojo.

2. Conjunto infinito

 formado por elementos imposibles de contar o enumerar en su totalidad debido a que nunca terminan o no tienen fin. Por ejemplo el conjunto de las estrellas en el universo o de los números. Para representar estos conjuntos, solo podemos hacerlo mediante comprensión.

3. Conjunto unitario

formado por un único elemento. Por ejemplo el conjunto de estrellas en nuestro sistema solar: la única estrella de nuestro sistema solar es precisamente el sol.

4. Conjunto vacío

 no tiene elementos porque no existen. Por ejemplo el conjunto de árboles de monedas. Este tipo de conjuntos también se representan por comprensión.

5. Conjuntos homogéneos

formados por elementos que pertenecen a un mismo tipo o género. Por ejemplo el conjunto de monedas de cincuenta centavos.

Conjuntos heterogéneos

se caracterizan porque sus elementos son de diferentes tipos o géneros. Por ejemplo el conjunto de juguetes de Samuel. 

7. Conjuntos equivalentes

un conjunto es equivalente a otro cuando ambos tienen el mismo número o cantidad de elementos, no importa de qué tipo sean sino el número de elementos.

8. Conjuntos iguales

Cuando ambos conjuntos están compuestos por los mismos elementos, se dice que son conjuntos iguales. Por ejemplo dos cajas de chocolates están compuestas por los mismos elementos.

Diagramas de Venn

Los diagramas de Venn son una forma para representar gráficamente conjuntos, subconjuntos, intersecciones, yuniones. Estos son llamados así en honor de John Venn, que los comenzó a usar en 1880.

Suponga que R es el conjunto de todos los reptiles, S es el conjunto de todas las criaturas que viven en el mar, yM es el conjunto de todos los mamíferos. Obtenemos el diagrama de Venn:

La región marcada RS es la intersección de R y S; el conjunto de reptiles que viven en el mar. SimilarmenteSM es el conjunto de mamíferos que viven en el mar. Ya que no hay tal cosa como un animal que es tanto reptil como mamífero, la intersección RM está vacía (las regiones R y M no se cruzan una con otra).

Enseguida mostramos algunos ejemplos de animales en cada categoría del diagrama de Venn.

Para otro ejeMplo, digamos que A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3}, C = {3, 4}, D = {5, 6}. Un diagrama de Venn para esta situación se vería así:

Representando cada conjunto mediante un óvalo, círculo o rectángulo. Al superponer dos o más de las anteriores figuras geométricas, el área en que confluyen indica la existencia de un subconjunto que tiene características que son comunes a ellas; en el área restante, propia de cada figura, se ubican los elementos que pertenecen únicamente a esta. En ejemplos comunes se comparan dos o tres conjuntos; un diagrama de Venn de dos conjuntos tiene tres áreas claramente diferenciadas: A, B y [A y B], en las cuales pueden darse 6 posibles combinaciones:

Presentación de los cuatro tipos de proposiciones categóricas (A, E, I, O) que pueden representarse usando los Diagramas de Venn. Moviendo el ratón sobre cada uno de losbotones se nos mostrará en los Diagramas de Venn la representación de cada una de esas proposiciones categóricas.
Tipo A:  Todo S es P.   Tipo E:  Ningún S es P.   Tipo I:  Algún S es P.   Tipo O:  Algún S no es P.
Ver como alternativa a estos diagramas  El problema de los diagramas de Euler es que algunas veces las proposiciones categóricas enlazan dos términos de igual extensión. En este caso, el módelo debería ser un círculo con otros dos círculos concéntricos de igual radio. Por ello, acabaron por imponersee los diagramas de Venn.

C

Sean A y B conjuntos. La unión de los conjuntos A y B es el conjunto, denotado por A  B, formado por los elementos que estén en al menos uno de los conjuntos A o B. Este conjunto, expresado por comprensión es: A  B = { x  U / x  A ˅ x  B} Así, podemos decir que los elementos de la unión del conjunto A con el conjunto B son aquéllos que estén o bien en A o en B o en ambos. Ejemplo En la figura de la derecha, está señalado en verde el conjunto A  B.

 

Consideremos el conjunto universo como U={x / x es un número dígito}, o lo que es equivalente a decir que U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 

Y tomemos dos subconjuntos de nuestro universo, los cuales serán:

A={x / x es un número dígito primo}, o equivalente a A={2, 3, 5, 7} 

y B={x / x  es un número dígito par}, o equivalente a B={2, 4, 6, 8}.

Encontrar la unión, intersección, diferencia y complemento entre A y B.

Solución:

Primer paso.

Primero dibujaremos nuetro diagrama de Venn en el cual distribuiremos nuestros elementos de los conjuntos A y B y del universo. 

Segundo paso.

Observa los dos conjuntos A y B y notarás que el 2 es el único elemento que aparece en ambos conjuntos, por lo tanto, irá en la parte donde se traslapan nuestros conjuntos en el diagrama de Venn. 

Tercer paso.

Ahora distribuiremos los demás elementos del conjunto A y del conjunto B a excepción del 2 que ya se encuentran en el traslape de ambos conjuntos. 

Cuarto paso.

Por último, colocamos los números que faltan para tener nuestro universo completo. Es decir, que no pertenecen ni A ni a B y por lo tanto, quedan fuera de los circulos pero dentro del rectángulo que representa nuestro universo. 

Figura 4

Una vez que tienen su diagra de Venn, es más facil responder o encontrar las operaciones solicitadas.

CONJUNTOS NUMÉRICOS Y APLICACIONES

NUMERACIÓN: Sistema de símbolos o signos utilizados para expresar los números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema. Nuestro sistema numérico es el arábigo o decimal porque emplea 10 símbolos para representar todos los números: Del 0 al 9.

A continuación se presentan los conjuntos numéricos, cuyo conocimiento es indispensable para un dominio básico de la Álgebra y el Cálculo.

1. Números Naturales ó enteros positivos: Surgieron por la necesidad que tuvo el hombre de contar. Son los números más simples de los que hacemos uso, se denotan por y están formados por los números 1,2,3,4,5...

Se denominan también números enteros positivos.= +

2. Números Enteros Negativos: Surgen por la necesidad que tuvo el hombre de expresar situaciones tales como: Temperaturas bajo cero, deudas, posiciones bajo el nivel del mar (10 pies bajo el nivel del mar, por ejemplo). Se denotan por _- y están formados por los números inversos aditivos de los naturales.

_-

= { ……, - 4, - 3, - 2, - 1}2

3. Números Enteros: Surgen como la necesidad que vio el hombre de reunir en un solo conjunto a los enteros

positivos (naturales) con los enteros negativos y con el elemento cero. El conjunto de los números enteros

incluye a los naturales, . (Los naturales son un subconjunto de los enteros).

Obsérvese que los números enteros positivos entre más lejos estén del cero más mayores son en tanto que los

enteros negativos entre más cercanos estén del cero más mayores son.

Entre los números enteros están los números pares, los impares y los primos.

- Números pares: Son de la forma 2K, K  Z.

- Números impares: Son de la forma 2K ± 1, K  Z.

- Números primos: Son aquellos números naturales que tiene dos únicos divisores: el mismo número y la

unidad. El número 1 no es primo. Los números que no son primos se denominan números compuestos.

4. Números Racionales: Surgen por la necesidad que tuvo el hombre de tomar algunas partes de la unidad. Se

denotan por y son todos aquellos fraccionarios que se pueden expresar de la forma donde p y q son

enteros y , como por ejemplo 3/5, - 2/3, 13, etc. En general:

Los números enteros son también racionales porque se les puede colocar como denominador la unidad (1).

También se consideran números racionales los siguientes decimales:

a. Los decimales finitos: Aquellos que tienen un número finito de cifras decimales, como por ejemplo: 0.23,

2.3, - 0.324.

b. Los decimales infinitos periódico puros (d.i.p.p.): Aquellos que tienen un número infinito de cifras

decimales y cuyas cifras decimales se repiten, como por ejemplo: 0.2222… ,0.3535353… ,2.3333…, - 1,7777….

c. Los decimales infinitos periódicos mixtos (d.i.p.m.): Aquellos que tienen un número finito de cifras

decimales que no se repiten y a continuación un número infinito de cifras decimales que se repiten, como por

ejemplo: 0.23333…, 0.2355555…., - 0.32424242…, 3.25555…., - 1.2345454….

Todos estos decimales son racionales porque cada uno de ellos se origina al dividir dos números enteros. La

fracción que los origina se denomina fracción generatriz. Pon mucha atención a la forma como el profesor en

clase explicará lo de la fracción generatriz.

El conjunto de los números racionales incluye a los enteros. Por lo tanto se tiene que:

5. Números Irracionales: Surgen por la necesidad de encontrar la medida exacta de la hipotenusa de un

triángulo rectángulo; así mismo de la necesidad de expresar las raíces inexactas reales. Se denotan por ’

y son todas las raíces inexactas reales y los decimales infinitos no periódicos, como por ejemplo:

0.32456891…, π = 3.14157… , = 1.414213562…

6. Números reales: Surgen de la necesidad de reunir los racionales y los irracionales en un solo conjunto. Se

denotan por R. Por lo tanto se tiene que: R = U ’.

7. Números imaginarios: Surgen por la necesidad de obtener las raíces de índice par de cantidades

negativas. Se denotan por I. La unidad de los números imaginarios es la raíz cuadrada de – 1 y se denota por i,

así que: i = .

Debes tener en cuenta que: i = , I

2 = -1 , I3 = - i , i4= 1

1.2

A         PROPOSICIONES

1. Una proposición (o juicio) es el significado de una oración que describe un determinado estado de cosas. En lógica nos interesan las proposiciones, no las oraciones. Un oración es una expresión lingüística, gramaticalmente completa, que expresa un pensamiento, una proposición. Así pues, una oración es la expresión lingüística de una proposición. Una oración se compone de palabras. En cambio, una proposición se compone de conceptos.
2. Toda proposición ha de tener, esencial y necesariamente, un concepto sujeto que cumpla la función de poner el objeto al que se refiere la proposición; un concepto predicado que constituye una determinación del objeto, y una cópula, que en castellano se designa con la palabra "es", y tiene dos funciones: una función asertiva y una función referencial.

es el proceso de convertir un objeto a un grupo de valores discretos, como por ejemplo un número entero. Dependiendo del campo de estudio, el término cuantificación puede tomar diferentes definiciones.

Q=

“Quantum”, que puede traducirse como “cuanto”.

e refiere a la acción de enunciar una cantidad. Lo cuantitativo, por lo tanto, consiste en la expresión de una magnitud a través de números. 

Otro ámbito donde se usa la palabra que nos ocupa es en el de la construcción. Y es que en esta se habla de cuantificar materiales de obras para referirse al proceso en el que, en base a las reformas que se van a acometer y al espacio donde se va a trabajar, se lleva a cabo el recuento de todos los materiales que son necesarios al respecto

 TABLAS DE VERDAD

https://www.youtube.com/watch?v=pwJK-4Op438

Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos lógicos,como: no, o, y, si…entonces, sí y sólo si, respectivamente. La interpretación corresponde al sentido que estas operaciones tienen dentro del razonamiento.

Puede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y la deducción lógico matemática. En consecuencia, las tablas de verdad constituyen un método de decisión para chequear si una proposición es o no un teorema.

Para la construcción de la tabla se asignará el valor 1(uno) a una proposición cierta y 0 (cero) a una proposición falsa.

Negación: El valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición negada.

P	 P
1	0
0	1

 

Disyunción: La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes.

P	Q	P Q
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

 

Conjunción: Solamente si las componentes de la conjunción son ciertas, la conjunción es cierta.

P	Q	P  Q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

 

Condicional:  El condicional solamente es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. De la verdad no se puede seguir la falsedad.

P	Q	P Q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

 

Bicondicional: El bicondicional solamente es cierto si sus componentes tienen el mismo valor de verdad.

P	Q	P Q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

 

Se denomina tautología una proposición que es cierta para cualquier valor de verdad de sus componentes. Por tanto, la última columna de su tabla de verdad estará formada únicamente por unos.

Contradicción es la negación de una tautología, luego es una proposición falsa cualesquiera sea el valor de verdad de sus componentes. La última columna de la tabla de verdad de una contradicción estará formada únicamente por ceros.

Ejercicios 1.3

1. Sean P, Q, R y S fórmulas. Si se sabe únicamente que P es verdadero, ¿Qué puede afirmarse del valor de verdad de cada una las proposiciones siguientes?

• P Q           R  P                   S  P
• R P       P Q             R (S P)
• R  P       P  P  S        P S  (Q P)
• S P  P  Q  R     Q  P  R Q

2. ¿Qué puede concluirse de cada una de las proposiciones anteriores, en los siguientes casos?

• Si P es falsa.
• Si P es falsa, Q es verdadera y R es verdadera.

3. Sean P, Q y R fórmulas , entonces:

• Si R P  Q  P es falsa y P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de R y de Q?.
• Si Q Q P es verdadera y P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de Q?.
• Si R  PQ  P es falsa; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R?.
• Si (Q R)  (PQ) R es falsa; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R?.
• Si (P Q)R P RQ) es verdadera; ¿Qué puede afirmarse de P, Q y R?

4. Sean P, Q y R fórmulas. Determinar cuales de las siguientes proposiciones son tautologías:

• P Q P R                  (P Q ) ( Q P )
• P P Q                       (P Q) (P Q)
• P (Q P)                    P ((P Q) R)
• (P (Q P)) Q       P (P R)

•  (P (Q P)) Q       P (P R)

Las Proposiciones Condicionales expresan la condición necesaria para que tenga efecto lo que indica la oración principal; ésta indica la causa o efecto de tal condición,

EJEMPLOS DE PROPOSICIONES CONDICIONALES:

1.Me alegraría mucho, si me acompañaras.

2.Si quieres, paso por ti a las seis.

3.Te llevaré al baile; si me prometes ser puntual.

4.Si pones atención, aprenderás más pronto.

5.Podría llevar dos materias, si asisto por las tardes.

Observe cada caso y constata que la proposición indica una condición para que se lleve a cabo lo aseverado en la oración principal:

CONDICION

1. si me acompañaras

2. si quieres

3. si me prometes ser puntual

4. si pones atención

5. si asisto por las tardes

ASEVERACION

1. me alegraría mucho

2. paso por ti a las seis

3. te llevaré al baile

4. aprenderás más pronto

5. podría llevar dos materias

Las proposiciones condicionales funcionan sintácticamente como modificadores circunstanciales del núcleo del verbo de la oración principal.

La conjunción si, que funciona como subordinante es el encabezado que aceptan las oraciones subordinadas condicionales, en la mayoría de los casos. Los sintagmas conjuntivos; siempre que, con tal que, etc., también funcionan como encahezadores de este tipo de proposiciones.